La factorización consiste en descomponer un número en factores. Se realiza mediante divisiones sucesivas entre los propios divisores primos hasta que se obtiene uno como cociente. Para factorizar, se va reescribiendo el número natural como producto de números primos.
¿Qué es la Factorización?
En primer lugar es necesario definir el concepto de factorización. De hecho, en álgebra una de las operaciones más importantes es la llamada descomposición de un polinomio en factores . Es aquella operación algebraica mediante la cual escribimos un polinomio en forma de producto de dos o más factores de menor grado, también llamada factorización de un polinomio .
Los factores de menor grado pueden ser monomios simples o polinomios entre paréntesis. También hay polinomios que no se pueden expresar como el producto de factores de menor grado. Este es el caso de los polinomios irreducibles.
Cómo factorizar un número
Ahora que hemos sentado las bases para comprender la factorización, primero veamos cómo primar un número y luego pasar a la factorización prima de polinomios .
La factorización de números primos es un procedimiento algebraico que consiste en reescribir un número natural como producto de números primos.
Números naturales y números primos
¿Qué es un número primo? Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo se puede dividir por 1 o por sí mismo.
- Los diez primeros números naturales son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.
¿Qué es un número natural? Los números naturales, indicados genéricamente con N, son todos números, así que 0, 1, 2, 3, 4, 5… y se obtienen sumando una unidad cada vez a partir de 0. Los números naturales son infinitos y son enteros no negativos.
Criterios de divisibilidad
Volviendo a la descomposición en factores primos, ahora que conocemos la diferencia entre números primos y naturales, lo primero que debemos aprender son los criterios de divisibilidad.
En los ejercicios de álgebra, los criterios que encontramos con más frecuencia son:
- criterio de divisibilidad por 2
- criterio de divisibilidad por 3
- criterio de divisibilidad por 5
A) El criterio de divisibilidad por 2 se aplica cuando un número natural es divisible por 2, es decir cuando la cifra de la unidad es 0 – 2 – 4 – 6 – 8 y por tanto es un número par.
B) el criterio de divisibilidad por 3 se aplica cuando un número natural es divisible por 3, o cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
c) el criterio de divisibilidad por 5 se aplica cuando un número natural es divisible por 5, o cuando la cifra de la unidad es 0 o 5.
Ejemplos prácticos de descomposición en factores primos de un número
Imaginemos que queremos descomponer un número natural.
Si es un número primo, el procedimiento es muy corto porque la descomposición viene dada por el propio número.
Si es un número no primo, entonces aplicamos el procedimiento y los criterios de divisibilidad descritos anteriormente.
Así que veamos cuál es el método para primar un número no primo, como 180.
El número natural no primo 180, que tiene como unidad el 0, es un número par y la suma de sus cifras es 9.
Esto significa que se pueden aplicar los tres criterios de divisibilidad, para 2 – 3 y 5.
Aplicamos el criterio de divisibilidad por 5.
¿Qué notamos? En la columna de la izquierda reportamos los resultados de la división y en la columna de la derecha los números primos con los que dividimos los números naturales de la columna de la izquierda, hasta obtener como último número de la izquierda el número primo natural 1.
En este punto se termina la factorización y podemos escribir el número 180 como el producto de números primos en forma de potencia, es decir:
¿Por qué se usa la factorización prima?
El método de factorización prima se utiliza en matemáticas para:
- encontrar los divisores de un numero
- comprobar si dos números son divisibles entre sí sin realizar la división
- calcular el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo
- reducir una fracción al mínimo
Cómo factorizar un polinomio
Dada la descomposición en factores primos, ahora vemos la descomposición de polinomios en factores primos , a partir de dos conceptos mencionados al comienzo de este artículo, a saber, monomios y polinomios .
Diferencia entre monomios y polinomios
Primero de todo veamos qué significan estos dos términos:
El monomio es una expresión algebraica que consiste en el producto de cualesquiera factores, tanto numéricos como literales con exponente de número natural.
- Pongamos un ejemplo: 4x ²
4 es el factor numérico también llamado coeficiente, mientras que x ² es el factor literal.
En el monomio la parte numérica puede estar formada por cualquier número que se multiplique por la parte literal, mientras que en la parte literal solo puede haber multiplicaciones.
El polinomio es cualquier monomio o la suma algebraica de varios monomios.
- Tomemos un ejemplo: 5 – z + 2xy
Es un polinomio ya que está formado por la suma de monomios.
En función del número de términos que componen el polinomio podemos tener:
- binomios , es decir, polinomios formados por dos monomios no similares
- trinomios o polinomios formados por tres monomios no semejantes
- cuadrinomios , o polinomios formados por cuatro monomios no similares
y así sucesivamente, donde por monomios semejantes entendemos monomios que, reducidos a su forma normal, tienen la misma parte literal.
- Tomemos un ejemplo: xy ² z; 3/2 xy ² z
son monomios similares en que la parte literal es la misma.
La descomposición de polinomios en factores primos
Ahora que hemos visto la diferencia entre monomios y polinomios , intentaremos explicar la descomposición de polinomios en factores primos , a través de dos métodos:
- total con un factor común
- parcial con factor común
El primero es mucho más fácil de aplicar que el segundo.
En términos de un polinomio a factorizar, puede haber un factor (numérico o literal) común a todos los términos. En este caso, la operación de extraer este factor se denomina total.
Tomemos un ejemplo:
¿Qué tienen en común estos cuatro términos? Los coeficientes son todos divisibles por 2;
las partes literales tienen la letra x adentro con exponente máximo 2
Entonces todos los monomios son divisibles por 2x²
Por lo tanto, el polinomio inicial se puede recopilar de la siguiente manera:
Estamos ante un factor común por agrupación total
En el caso de una agrupación parcial, en la que los términos se separan en dos partes, el resultado de la descomposición es el producto de dos polinomios.
Tomemos un ejemplo de agrupación parcial con un factor común:
12xy – 8x + 9zy – 6z
Separamos los dos primeros términos 12xy – 8x de + 9zy – 6z
y recogemos 4x de los dos primeros y 3z de los otros dos.
¿Qué obtenemos?
4x (3y – 2) + 3z (3y – 2)
Vemos que los polinomios obtenidos son los mismos, por lo tanto 12xy – 8x + 9zy – 6z = (4x + 3z) (3y – 2)
