Problemas de fracciones Resueltos: suma, resta, multiplicación y división

Antes de que pueda dominar conceptos más avanzados en álgebra y geometría , primero debe dominar todas las funciones matemáticas relacionadas con las fracciones. En este artículo, repasaremos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir dos fracciones, así como una fracción y un número entero. También presentaremos fracciones complejas junto con métodos para simplificarlas. Sin embargo, antes de continuar, asegúrese de comprender completamente las cuatro operaciones matemáticas básicas : sumar, restar, multiplicar y dividir.

Problemas de fracciones Resueltos: suma y resta

En casos que involucran números simples, la suma y resta de fracciones es bastante fácil. Por ejemplo, sumar un tercio y un tercio obviamente nos da dos tercios. Asimismo, tres quintos menos dos quintos es un quinto. El primer caso se ilustra a continuación.

Tenga en cuenta que sumar (restar) fracciones con el mismo denominador es muy simple: simplemente sumamos (restamos) los numeradores y dividimos por el mismo denominador. Ya deberíamos saber que podemos escribir fracciones equivalentes que tienen diferentes numeradores y denominadores. Por lo tanto, si simplemente convertimos una o ambas fracciones que estamos sumando o restando en fracciones equivalentes con el mismo denominador, entonces podemos sumar las fracciones de la manera simple descrita anteriormente. Luego, si es necesario, podemos reducir el resultado a los términos más bajos.

El desafío de sumar y restar fracciones es encontrar un denominador común. El enfoque más sencillo para encontrar un denominador común es simplemente multiplicar los dos denominadores existentes y luego convertir los numeradores en consecuencia para crear fracciones equivalentes. Aunque este enfoque es conceptualmente simple, puede ser matemáticamente difícil cuando los denominadores son grandes. Sin embargo, probemos este enfoque con fines ilustrativos. Considere la adición mencionada anteriormente.

Un denominador común es 6 (o 23), porque podemos multiplicar el numerador y el denominador depor 3 para obtener, y podemos multiplicar el numerador y el denominador depor 2 para obtener. La adición es entonces directa.

• Problema de práctica: Calcular el resultado en cada caso.

una.

En cada caso, encuentre un denominador común y convierta los términos a fracciones equivalentes con ese denominador. Se da un posible denominador común para cada caso. La suma (diferencia) de las fracciones es la suma (diferencia) de los numeradores sobre el común denominador. Reduzca el resultado a los términos más bajos si corresponde.

• Común denominador: 21

• Común denominador: 8

• Denominador común: 45

Problemas de fracciones Resueltos: multiplicación y división

Multiplicar y dividir fracciones es, en cierto modo, más sencillo que sumarlas y restarlas. Digamos que queremos multiplicar  por. Intuitivamente, la respuesta es bastante obvia: la mitad de la mitad es un cuarto (o un cuarto–). Por ejemplo, si tiene 50 centavos (medio dólar) y desea multiplicarlos por la mitad, obtendrá 25 centavos (un cuarto de dólar).

Entonces, para multiplicar dos fracciones, simplemente multiplica los numeradores y multiplica los denominadores para obtener el producto. En algunos casos, el producto ya estará en los términos más bajos; en otros, es posible que deba reducirlo a los términos más bajos.

Al multiplicar una fracción por un número entero, tenga en cuenta que cualquier número entero es simplemente una fracción con el número entero como numerador y 1 como denominador. Por ejemplo,

• Problema de práctica : Calcula los siguientes productos.

• Solución : En cada caso, el producto es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. Si uno de los factores es un número entero, trátelo como una fracción que tiene el número entero como numerador y 1 como denominador. Reducir el producto a los términos más bajos si corresponde.

Consideremos ahora el caso de la división. Digamos que queremos dividirpor. Intuitivamente, la respuesta es 2; por ejemplo, 25 centavos (un cuarto de dólar) pueden convertirse en 50 centavos (medio dólar) dos veces.

Note arriba que si volteáramos el segundo factor para que el numerador se convirtiera en el denominador y el denominador se convirtiera en el numerador y también cambiamos la operación de división a multiplicación, terminaríamos con el mismo resultado.

Esta es, de hecho, una manera conveniente de dividir fracciones. La división por una fracción es lo mismo que la multiplicación por el recíproco de esa fracción. Un recíproco es simplemente una fracción «inversa». Así, por ejemplo, el recíproco dees(o).

Al igual que con la multiplicación de fracciones, recuerda que un número entero también se puede escribir como una fracción. Así, por ejemplo, el recíproco de 6 es. Por lo tanto, podemos dividir fracciones por números enteros, así como por otras fracciones. Además, tenga en cuenta que el producto de una fracción y su recíproco siempre es 1. Considere el siguiente ejemplo.

A la luz de cómo hemos definido la división y la multiplicación, podemos proporcionar una justificación más rigurosa de nuestro método para calcular fracciones equivalentes. Tenga en cuenta que el número 1 se puede escribir como cualquier otro número dividido por sí mismo. Por ejemplo,

Por lo tanto, ¡el proceso de encontrar fracciones equivalentes no es más que multiplicar una fracción dada por 1! Considere el siguiente ejemplo.

Problema de práctica : Calcula los siguientes cocientes.

Solución : En cada caso, multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Reducir el producto a los términos más bajos si corresponde.

Debido a que las fracciones no son más que una representación de la división, ya tenemos las herramientas que necesitamos para comprender el papel de los números negativos en las fracciones. Recuerda que el producto (o cociente) de dos números negativos o dos positivos es positivo y que el producto (o cociente) de un número negativo y un número positivo es negativo. Así, considere el ejemplo de la fracción; consideraremos cada caso posible.

En el primer caso (tanto el numerador como el denominador tienen el mismo signo), el resultado es un número positivo. En el segundo caso (numerador y denominador tienen signos opuestos), el resultado es un número negativo. Por lo tanto, a veces podemos simplemente colocar el signo negativo en el segundo caso al lado de la fracción entera en lugar del numerador o denominador. Sin embargo, tenga en cuenta que las tres representaciones son iguales y, en algunas situaciones, una puede ser más útil que otra.

Fracciones complejas

Recuerda que una fracción es simplemente una forma de expresar la división de dos números (donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor). Como podemos dividir fracciones, también podemos expresar esta división como una «fracción de fracciones» o una fracción compleja. A continuación se muestra un ejemplo de una fracción compleja. Tenga en cuenta que, para mayor claridad, las fracciones en el numerador y el denominador de la fracción compleja se muestran «inclinadas»; sin embargo, este cambio no implica ninguna diferencia matemática.

Tales fracciones pueden y, a menudo, deben simplificarse. Para hacerlo, podemos tomar uno de varios enfoques. Recuerda que podemos encontrar una fracción equivalente al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número. Por lo tanto, un enfoque es multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción compleja por el producto de los denominadores de las fracciones simples, como se muestra a continuación.

Alternativamente, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción compleja por el recíproco de su denominador. Debido a que el denominador se vuelve 1, el resultado es simplemente el valor del numerador.

Otra forma de ver este último enfoque es que simplemente estamos realizando la división:

Dependiendo de la situación particular, un enfoque puede ser más simple que otro; todos son igualmente aceptables, sin embargo.

• Problema de práctica : Simplifique las siguientes fracciones complejas.

b.C.

• Solución : un posible enfoque para simplificar estas fracciones complejas es multiplicar la fracción en el numerador por el recíproco de la fracción en el denominador. Reduzca el resultado a los términos más bajos si corresponde. En el caso de la parte c, observe que el recíproco de 5 esy que el cociente (o producto) de un número positivo dividido (multiplicado) por un número negativo es un número negativo.