Problemas de fracciones de 3º ESO Resueltos

Las matemáticas son muy importantes para todo en la vida y sobre todo cuando estamos en la ESO, que son una asignatura obligatoria que se complica un poco mas de lo que estábamos acostumbrados. Por eso, queremos traeros algunos problemas de fracciones solucionados para que tengáis claro lo que son, además de las partes de las que se componen y de los tipos que hay.

¿Qué son las fracciones?

Una fracción muestra parte de un todo. Este todo puede ser una región o una colección. La palabra fracción se deriva de la palabra latina «fractio» que significa «romper». Los egipcios, siendo la primera civilización en estudiar fracciones, usaron fracciones para resolver sus problemas matemáticos, que incluían la división de alimentos, suministros y la ausencia de una moneda de lingotes.

En la Antigua Roma, las fracciones solo se escribían usando palabras para describir una parte del todo. En la India, las fracciones se escribieron primero con un número sobre otro (numerador y denominador), pero sin línea. Solo los árabes agregaron la línea que se usa para separar el numerador y el denominador.

En Matemáticas, las fracciones se representan como un valor numérico, que define una parte de un todo. Una fracción puede ser una porción o sección de cualquier cantidad de un todo, donde el todo puede ser cualquier número, un valor específico o una cosa. Entendamos este concepto usando un ejemplo. La siguiente figura muestra una pizza que está dividida en 8 partes iguales. Ahora, si queremos expresar una parte seleccionada de la pizza, podemos expresarla como 1/8, lo que muestra que de 8 partes iguales, nos referimos a 1 parte.

Partes de una fracción

Todas las fracciones constan de un numerador y un denominador y están separados por una barra horizontal conocida como barra fraccionaria.

  • El denominador indica el número de partes en que se ha dividido el todo. Se coloca en la parte inferior de la fracción debajo de la barra fraccionaria.
  • El numerador indica cuántas secciones de la fracción están representadas o seleccionadas. Se coloca en la parte superior de la fracción encima de la barra fraccionaria.

Tipos de fracciones

Según el numerador y el denominador, que son partes de una fracción, existen diferentes tipos de fracciones que se enumeran a continuación:

Fracción Propia

Las fracciones propias son las fracciones en las que el numerador es menor que su denominador.

  •  Cómo sería: 5/7, 3/8, 2/5, etc. son fracciones propias.

Fracción impropia

Una fracción impropia es el tipo de fracción en la que el numerador es mayor o igual que su denominador. Siempre es igual o mayor que el todo.

  •  Por ejemplo: 4/3, 5/2, 8/5, etc.

Fracción unitaria

Las fracciones en las que el numerador es 1 se conocen como fracciones unitarias.

  • Esto sería: 1/4, 1/7, 1/9, etc.

Fracción Mixta

Una fracción mixta es una mezcla de un número entero y una fracción propia.

  • Por ejemplo, 513, donde 5 es el número entero y 1/3 es la fracción propia, o,225,7911, y así.

Fracción equivalente

Las fracciones equivalentes son las fracciones que representan el mismo valor después de que se simplifican. Para obtener fracciones equivalentes de cualquier fracción dada:

  • Podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción dada por el mismo número.
  • Podemos dividir tanto el numerador como el denominador de la fracción dada por el mismo número.
  • Ejemplo: Encuentra las dos fracciones que son equivalentes a 5/7.
  • Solución: Fracción equivalente 1: Multipliquemos el numerador y el denominador con el mismo número 2. Esto significa, 5/7= (5 × 2)/(7 × 2) = 10/14. Fracción equivalente 2: Multipliquemos el numerador y el denominador con el mismo número 3. Esto significa, 5/7 = (5 × 3)/(7 × 3) = 15/21. Por lo tanto, 10/14, 15/21 y 5/7 son fracciones equivalentes.

Fracciones iguales y diferentes

Las fracciones semejantes son las fracciones que tienen el mismo denominador.

  • En este caso: 5/15, 3/15, 17/15 y 31/15 son fracciones semejantes.
  • Las fracciones diferentes son las fracciones que tienen diferentes denominadores. 2/7, 9/11, 3/13 y 39/46 son fracciones diferentes.

Fracción en una recta numérica

La representación de fracciones en una recta numérica demuestra los intervalos entre dos enteros, lo que también nos muestra el principio fundamental de la creación de números fraccionarios. Las fracciones en una recta numérica se pueden representar haciendo partes iguales de un todo, es decir, del 0 al 1. El denominador de la fracción representaría el número de partes iguales en que se dividirá y marcará la recta numérica.

En este caso, si necesitamos representar 1/8 en la recta numérica, debemos marcar 0 y 1 en los dos extremos y dividir la recta numérica en 8 partes iguales. Entonces, el primer intervalo se puede marcar como 1/8. De manera similar, el siguiente intervalo se puede marcar como 2/8, el siguiente se puede marcar como 3/8, y así sucesivamente. Cabe señalar que el último intervalo representa 8/8 que significa 1. Observa la siguiente recta numérica que representa estas fracciones en una recta numérica.

Problemas de fracciones de 3º ESO Resueltos

  • Ejemplo 1: Escribe dos fracciones equivalentes para 5/15

    Solución: Escribamos las fracciones equivalentes a 5/15 usando la multiplicación y la división.

    a.) Multipliquemos el numerador y el denominador con el mismo número 2. Esto significa, (5 × 2)/(15 × 2) = 10/30

    b.) Dividamos el numerador y el denominador con el mismo número 5. Esto significa, (5 ÷ 5)/(15 ÷ 5) = 1/3

    Por tanto, 10/30 y 1/3 equivalen a 5/15. En otras palabras, 10/30, 1/3 y 5/15 son fracciones equivalentes.

  • Ejemplo 2: en una clase de 48 estudiantes, 1/4 de ellos ven dibujos animados. ¿Cuántos estudiantes no ven dibujos animados?
  • Solución: Número total de estudiantes = 48, la fracción de estudiantes que ven dibujos animados = 1/4. Número de estudiantes que ven dibujos animados = 1/4 × 48 = 12. Por lo tanto, el número de estudiantes que no ven dibujos animados = 48 – 12 = 36. Por eso, el número de alumnos que no ven dibujos animados es de 36.

Ejemplo 3. Tenía ahorrados 18 €. Para comprarme un juguete he sacado 4/9 del dinero de mi hucha. ¿Cuánto me ha costado el juguete?

Para resolver problemas hay que leer bien el enunciado hasta enterarnos de lo que nos pide.

  • En este caso se trata de calcular la fracción de un número.
  • Necesito los 4/9 de los 18 € que tengo para el juguete.
  • 4/9 de 18 = 8 € me ha costado el juguete.

Otra forma: Calcular lo que corresponde a 1/9 y multiplicar por 4.

  • 1/9 de 18 = 2 €
  • 2 · 4 = 8 €

Ejemplo 4. Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7/15 del total, el segundo 5/12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

1º Reducimos las fracciones a común denominador: m.c.m. (15,12) = 60

  • El primero se lleva 7/15 = 28/60
  • El segundo se lleva 5/12 = 25/60
  • Sumamos lo que se llevan entre los dos 28/60 + 25/60 = 53/60
  • El tercero se llevará en fracción : 60/60 – 53/60 = 7/60

2º Calculamos la fracción del número que le corresponde a cada uno.

  • El primero se llevará los 28/60 de 120 = 56 €
  • El segundo se llevará los 25/60 de 120 = 50 €
  • El tercero se llevará los 7/60 de 120 = 14 €

3º Podemos comprobar que lo tenemos bien sumando la cantidad que se lleva cada uno.

  • Si observamos los resultados se lleva mas el primero que es al que le corresponde la mayor fracción , después el segundo y por último el tercero que es el que se lleva la menor fracción.

Ejemplo 5. Hoy he perdido 18 cromos que son 3/11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?

  • Podemos resolverlo calculando los cromos que le corresponden a 1/11 .
  • Dividimos 18:3 = 6 cromos.
  • Si a 1/11 le corresponden 6 cromos, a 11/11 que es la fracción total le corresponderán 6 ·11 = 66 cromos.

Ejemplo 6.El 60% de los empleados de la empresa tiene coche. Si el número total de empleados es de 1.200 personas. ¿Cuántas personas tienen vehículo?

  • Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción que tiene como denominador 100.
  • El 60% es en fracción 60/100 si la simplificamos nos da 3/5 . Luego los 3/5 de trabajadores de esa empresa tienen coche. Calculamos los 3/5 de 1200 = 720 trabajadores tienen coche.
  • Saldría el mismo resultado sin simplificar. Los 60/100 de 1200 = 720
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