La relación entre la lógica y la filosofía: las tablas de verdad

Una tabla de verdad, en lógica, es un gráfico que muestra el valor de verdad de una o más proposiciones compuestas y se puede utilizar para probar la validez de los argumentos. Una tabla inventada para la matemática pero que puede aplicarse también a la filosofía si se supone que toda proposición es verdadera o falsa y se dice que la verdad o falsedad de cada proposición es su valor de verdad. Cada fila de la tabla representa una posible combinación de valores de verdad para las proposiciones compuestas del compuesto, y debe haber suficientes filas para cubrir todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, si el compuesto contiene solo dos proposiciones componentes, habrá cuatro posibilidades y, por lo tanto, cuatro filas en la tabla. El valor de verdad del compuesto se indica en cada fila bajo el operador funcional de verdad.

La relación entre la lógica y la filosofía: las tablas de verdad. Si eres estudiante de filosofía, o tienes interés  por las tesis filosóficas que se basan en la lógica, debes conocer las tablas de la verdad con las que se puede llegar a demostrar si un enunciado compuesto es verdadero o falso.

El método tradicional de las tablas de verdad puede parecer algo simple en un principio, pero  lo cierto es que sirven para dar respuestas a un gran número de tesis filosóficas sobre la lógica clásica, dado que son tablas matemáticas a las que les podemos cambiar sus características (por ejemplo, los renglones) y con ello, variar las respuestas al enunciado que se plantee, hasta incluso llegar a negar lo que antes se había dado como verdadero. Veamos entonces qué son las tablas de verdad al detalle, y de este modo, poder llegar a entenderlas un poco mejor.

La relación entre la lógica y la filosofía: las tablas de verdad

Una tabla de verdad es una tabla matemática utilizada para determinar si un enunciado compuesto es verdadero o falso. En una tabla de verdad, cada enunciado generalmente está representado por una letra o variable, como p , q o r , y cada enunciado también tiene su propia columna correspondiente en la tabla de verdad que enumera todos los posibles valores de verdad.

Es posible que en nuestra vida cotidiana no esbocemos la representación de una tabla de verdad, pero sí que solemos utilizar el razonamiento lógico, y a partir de este se construyen las tablas de verdad para evaluar si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Digamos que nos dicen «Si está lloviendo afuera, entonces el partido de fútbol se cancela». Podemos usar reglas de razonamiento lógico para evaluar si la afirmación es verdadera o falsa y tal vez hacer otros planes.

Propiedades lógicas y origen de las tablas de verdad

A partir de lo explicado, podemos decir que una tabla de verdad es un dispositivo para demostrar
ciertas propiedades lógicas y semánticas de enunciados del lenguaje natural o de fórmulas del lenguaje del cálculo proposicional como:

• Si son tautológicas, contradictorias o contingentes
• Cuáles son sus condiciones de verdad
• Cuál es su rol inferencial, es decir, cuáles son sus conclusiones lógicas y de qué otras proposiciones se siguen lógicamente

La creación de las tablas de verdad surge en 1880 de la mano de Charles Sanders Peirce, aunque fue Ludwig Wittgenstein introdujo en 1921 el formato por el que se conocen hoy en día. Años antes, en 1918, Bertrand Russell así como Wittgenstein habían divulgado este método como instrumento de análisis lógico-semántico en términos de condiciones de verdad.

¿Cómo funciona la tabla de verdad?

¿Sabe cuándo leemos un párrafo extendido y, al final, no podemos entender si lo que se ha afirmado afirma o refuta el argumento ? La tabla de verdad sirve para facilitar esta comprensión, fragmentando las operaciones lógicas en partes pequeñas que son más fáciles de entender.

Como su nombre lo indica, busca extraer el verdadero significado de una oración lógica . Para saber entonces cómo funciona, se deben aprender algunas propiedades de la disciplina lógica al construir una tabla de verdad.

Por ello, es muy importante comenzar conociendo los conectores que forman la tabla de verdad, sus funciones y características.

Conectores lógicos

1) No

• símbolo: ~
• operación lógica: negación;
• valor lógico: designa un valor falso cuando la declaración es verdadera y viceversa.

2) Y

• Símbolo: ^
• operación lógica: conjunción;
• valor lógico: es verdadero solo cuando todas las proposiciones son verdaderas.

3) O

• Símbolo: v
• operación lógica: disyunción;
• valor lógico: tendrá un valor verdadero cuando solo una de las partículas sea verdadera y la otra sea falsa.

4) Si … entonces …

• símbolo: ->
• operación lógica: condicionalidad;
• valor lógico: es falso solo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa; En otros casos será cierto.

5) Si solo si …

• símbolo: <->
• operación lógica: bicondicionalidad;
• valor lógico: tendrá valor verdadero solo cuando ambas proposiciones sean verdaderas o cuando ambas sean falsas.

Tabla condicional

Para comprender la tabla condicional , debemos usar los conectores que acabamos de ver. Como su nombre indica, esta relación implica una condición para que se cumpla la segunda declaración , que estará determinada por la información previa.

Para que una proposición condicional sea posible, es necesario que se utilice una conexión condicional lógica , como es el caso de la partícula «si … entonces» . Esto significa que para admitir la verdad sobre la relación entre dos elementos de información, será necesario que el primer elemento de información sea verdadero . Si este no es el caso, la relación entre ellos será falsa.

Tomemos por ejemplo la información abstracta: A y B . Por lo tanto, una tabla condicional establecerá que «Si A entonces B …» . Ante esta estructura, podemos admitir las siguientes elaboraciones, en todos los casos:

• Si el elemento de A es verdadero y B es falso, entonces la relación A -> B también será falsa;
• En todos los demás casos, donde A es falso y B es verdadero, o incluso cuando A y B son falsos, será posible establecer una conexión verdadera entre dichos elementos.

Tabla bicondicional

Por otro lado, en lo incondicional, es una situación un poco más específica. El conector lógico utilizado será el «si y solo si». Continuando con nuestro ejemplo anterior se podría formular de la siguiente manera: A si y sólo B . Por lo tanto, es posible observar una doble condicionalidad para dar fe de la veracidad de la conexión establecida entre A y B.

En este caso, podemos describir la tabla bicondicional en las siguientes formulaciones, que también son válidas para todos los casos:

• La relación A <-> B solo será verdadera si A y B son falsas o si A y B son verdaderas;
• En todos los demás casos, en los cuales cualquiera de las partículas es verdadera y la otra es falsa, la conexión entre ellas será admitida como falsa.

¿Cómo construir una tabla de verdad?

Para construir una tabla de verdad hemos de identificar la falsedad o veracidad entre la información disponible. Para cada proposición colocada en la tabla, la última correspondiente debe contar con una V o F , de acuerdo con la validez de cada elemento. Vale la pena recordar que, en un contexto de pruebas y ejercicios , es probable que la tabla sea mucho más compleja que estos dos elementos.

Además, tenemos que conocer la fórmula para determinar el número de filas que compondrán la tabla. Este otro parámetro fundamental estará determinado por el número de oraciones que componen la proposición presentada. Como ya hemos señalado, una oración es la declaración completa informada por la pregunta, mientras que las proposiciones son las partes aisladas contenidas en esa oración.

Para identificar el número de líneas, simplemente podemos comenzar usando la siguiente fórmula: 2 ⁿ . En esta elaboración, la variable n es el poder que siempre será elevado por el número dos, correspondiente al número de oraciones identificadas en la sección que se transformará cuantitativamente. Por ejemplo, si la oración consta de tres proposiciones, entonces tenemos 2³ = 8 . Entonces la tabla constará de ocho filas .

Ejercicios de la tabla de verdad

Ahora que ya hemos explicado qué son y cómo hacer la tabla de verdad, podemos poner en práctica que hemos visto.

Ejercicio 1

En la tabla de verdad a continuación, pyq son proposiciones:

La proposición compuesta que reemplaza correctamente el signo de interrogación es:

• a. p Ʌ q;
• b. p → q;
• c. ~ (p ↔ q);
• d. p ↔ q;
• e. ~ (pvq)

Ejercicio 2 

Verifica la verdadera alternativa en la tabla de verdad  de:

• a. Yo
• b. II
• c. III
• d. IV

Ejercicio 3

Considera las proposiciones:

• p: A Ana le gustan las matemáticas
• q: A Marta le gusta la educación física

La proposición Si a Ana le gustan las matemáticas, a Marta le gusta la educación física , se puede traducir de la siguiente manera:

• a. 
• b. 
• c. 
• d. 
• e. 

Como hemos visto en los ejercicios planteados, la tabla de verdad es un dispositivo utilizado para facilitar la comprensión de las expresiones lógicas . Para usarlo, será importante desarrollar un buen conocimiento de las conexiones lógicas. Además, también es necesario comprender qué operaciones lógicas están en juego y también conocer la forma correcta de construir tu propia tabla.

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