Formulas para resolver inecuaciones

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En Matemáticas, las ecuaciones no siempre se tratan de equilibrar en ambos lados con un símbolo ‘igual a’. Pero a veces puede tratarse de una relación ‘no igual a’, como que algo es mayor que el otro o menor que. En matemáticas, la desigualdad se refiere a una relación que hace una comparación desigual entre dos números u otras expresiones matemáticas. Estas expresiones matemáticas pertenecen al álgebra y se denominan inecuaciones. Aprendamos las reglas y fórmulas para resolver las inecuaciones con varios ejemplos prácticos.

Qué es una inecuación

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Las inecuaciones son las expresiones matemáticas en las que ambos lados no son iguales. En la desigualdad, a diferencia de las ecuaciones, comparamos dos valores. El signo igual en el medio se reemplaza por menor que (o menor que o igual a), mayor que (o mayor que o igual a), o no igual a signo.

Marta es seleccionada para el fútbol 12A. ¿cuantos años tiene Marta ? No sabes la edad de Marta , porque no dice «igual». Pero sí sabes que su edad debe ser menor o igual a 12, por lo que puede escribirse como La edad de Marta ≤ 12. Este es un ejemplo práctico relacionado con las inecuaciones.

Inecuación significado

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El significado de desigualdad es decir que dos cosas NO son iguales. Una de las cosas puede ser menor que, mayor que, menor o igual que, o mayor o igual que las otras cosas.

  • p ≠ q significa que p no es igual a q
  • p < q significa que p es menor que q p > q significa que p es mayor que q
  • p ≤ q significa que p es menor o igual que q
  • p ≥ q significa que p es mayor o igual que q

Formulas para resolver inecuaciones

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Las reglas o fórmulas de las inecuaciones son especiales. Aquí hay algunas enumeradas con ejemplos de inecuaciones

Fórmula 1

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Cuando las inecuaciones están vinculadas, puedes saltar por encima de la inecuación del medio.

  • Si, p < q y q < d, entonces p < d
  • Si, p > q y q > d, entonces p > d

Ejemplo: si Marta es mayor que Laura y Laura es mayor que Julia, entonces Marta debe ser mayor que Laura.

Fórmula 2

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El intercambio de números p y q da como resultado:

  • Si, p > q, entonces q < p
  • Si, p < q, entonces q > p

Ejemplo: Marta es mayor que Laura, entonces Laura es más joven que Marta.

Fórmula 3

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Sumando el número d a ambos lados de la desigualdad: Si p < q, entonces p + d < q + d

Ejemplo: Marta tiene menos dinero que Laura. Si tanto Marta como Laura obtienen 5€ más, entonces Marta aún tendrá menos dinero que Laura .

Igualmente:

  • Si p < q, entonces p − d < q − d
  • Si p > q, entonces p + d > q + d, y
  • Si p > q, entonces p − d > q − d

Entonces, la suma y resta del mismo valor tanto para p como para q no cambiará la desigualdad.

Fórmula 4

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Si multiplicas los números p y q por un número positivo , no hay cambio en la inecuación. Si multiplicas tanto p como q por un número negativo , la inecuación se intercambia: p

Estas son las reglas:

  • Si p < q, y d es positivo, entonces pd < qd
  • Si p < q, y d es negativo, entonces pd > qd (intercambios de desigualdad)

Ejemplo de caso positivo: la puntuación de 5 de Marta es inferior a la puntuación de 9 de Mia (p < q). Si Marta y Mia duplican sus puntajes ‘x2’, el puntaje de Marta seguirá siendo más bajo que el puntaje de Mia, 2p < 2q. Si los puntajes se vuelven negativos, entonces los puntajes serán −p > −q.

Fórmula 5

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Poner menos delante de p y q cambia la dirección de la inecuación.

  • Si p < q entonces −p > −q
  • Si p > q, entonces −p < −q
  • Es lo mismo que multiplicar por (-1) y cambia de sentido.

Fórmula 6

Tomando el recíproco 1/valor de p y q cambia la dirección de la desigualdad. Cuando p y q son ambos positivos o ambos negativos:

  • Si, p < q, entonces 1/p > 1/q
  • Si p > q, entonces 1/p < 1/q

Fórmula 7

El cuadrado de un número siempre es mayor o igual a cero p  ≥ 0.
Ejemplo: (4) 2 = 16, (−4) 2 = 16, (0) 2 = 0

Fórmula 8

Sacar una raíz cuadrada no cambiará la desigualdad. Si p ≤ q, entonces √p ≤ √q (para p, q ≥ 0).

  • Ejemplo: p=2, q=72 ≤ 7, luego √2 ≤ √7

Pasos para resolver inecuaciones

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Estos son los pasos para  resolver inecuaciones:

  • Paso – 1: Escribe la desigualdad como una ecuación.
  • Paso – 2: Resuelve la ecuación para uno o más valores.
  • Paso – 3: Representa todos los valores en la recta numérica.
  • Paso – 4: Además, representa todos los valores excluidos en la recta numérica usando círculos abiertos.
  • Paso – 5: Identifica los intervalos.
  • Paso – 6: Toma un número aleatorio de cada intervalo, sustitúyalo en la desigualdad y verifica si la desigualdad se cumple.
  • Paso – 7: Los intervalos que se cumplen son las soluciones.

Pero para resolver desigualdades simples (lineales), solemos aplicar operaciones algebraicas como suma , resta , multiplicación y división . Considera el siguiente ejemplo:

2x + 3 > 3x + 4

Restando 3x y 3 de ambos lados,

2x – 3x > 4 – 3

-x > 1

Multiplicando ambos lados por -1,

X < -1

Observa que hemos cambiado el símbolo «>» por el símbolo «<«. ¿Por qué? Esto se debe a que hemos multiplicado ambos lados de la desigualdad por un número negativo. El proceso de resolución de desigualdades mencionado anteriormente funciona para una desigualdad lineal simple. Pero para resolver cualquier otra desigualdad compleja, tenemos que usar el siguiente proceso.

Inecuaciones gráficas

Al graficar desigualdades , debemos tener en cuenta lo siguiente.

  • Si se incluye el punto final (es decir, en caso de ≤ o ≥), utiliza un círculo cerrado.
  • Si el punto final NO está incluido (es decir, en el caso de < o >), usa un círculo abierto.
  • Usa un círculo abierto en ∞ o -∞.
  • Dibuja una línea desde el punto final que se extiende hacia el lado derecho si la variable es mayor que el número.
  • Dibuja una línea desde el punto final que se extienda hacia el lado izquierdo si la variable es menor que el número.

Escribir inecuaciones en notación de intervalo

Al escribir la solución de una desigualdad en la notación de intervalo , debemos tener en cuenta lo siguiente.

  • Si se incluye el criterio de valoración (es decir, en caso de ≤ o ≥), utiliza los corchetes ‘[‘ o ‘]’
  • Si el punto final no está incluido (es decir, en caso de < o >), usa los corchetes abiertos ‘(‘ o ‘)’
  • Usa corchetes siempre abiertos en ∞ o -∞.

Inecuaciones ejemplos

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Ejemplo 1: Usando las técnicas de resolución de desigualdades, resuelve: -19 < 3x + 2 ≤ 17.

Solución:

Dado que -19 < 3x + 2 ≤ 17.

Esta es una desigualdad compuesta.

Restando 2 de todos los lados,

-21 < 3x ≤ 15

Dividiendo todos los lados por 3,

-7 < x ≤ 5

Respuesta: La solución es (-7, 5).

Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad x 2 – 7x + 10 < 0.

Solución:

Primero, resuelve la ecuación x 2 – 7x + 10 = 0.

(x – 2) (x – 5) = 0.

x = 2, x = 5.

Si representamos estos números en la recta numérica, obtenemos los siguientes intervalos: (-∞, 2), (2, 5) y (5, ∞).

Tomemos algunos números aleatorios de cada intervalo para probar la desigualdad cuadrática dada.

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